Линейные Операторы Преобразования

В пространстве V2 свободных векторов на плоскости поворот вектора на заданный угол φ против часовой стрелки представляет собой отображение V2 в себя, являющееся линейным оператором. Линейность отображения вытекает из простых геометрических соображений. Во-вторых, умножение свободного вектора на число означает изменение его длины и, возможно, изменение его направления на противоположное.

Помимо теоретического значения, матрицы линейных операторов имеют и прикладное применение. Например, в физике они используются для описания различных линейных преобразований – вращений, колебаний, распространения волн. В экономике с помощью таких матриц моделируется функционирование отраслей народного хозяйства. Есть приложения и в теории управления, и в других областях знаний. Линейное пространство, которое является кольцом, удовлетворяющим условию 5, называется алгеброй. Поэтому множество называют алгеброй линейных операторов (преобразований).

Линейная алгебра большое внимание уделяет отображениям, которые векторам одного линейного пространства ставят в соответствие векторы другого (возможно того же) линейного пространства. Среди таких отображений выделяются те, которые сохраняют алгебраические соотношения. В некотором смысле такие отображения являются и наиболее простыми, так как они естественным образом связаны со структурой линей-ного пространства. Где A – линейный оператор, x и y – векторы, α – скаляр. Таким образом, линейный оператор сохраняет основные линейно-алгебраические операции.

Поэтому существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что . Следовательно, многочлен — аннулирующий для преобразования . Рассмотрим множество — линейных преобразований (операторов) n-мерного линейного пространства .

Свойства Матриц Линейных Операторов

Так что изучение матриц линейных операторов открывает путь как для глубокого понимания алгебраических абстракций, так и для решения важных прикладных задач самой разной природы. Такой подход позволяет эффективно находить матрицы операторов в пространствах большой размерности, когда ручные вычисления практически невозможны. Ручные вычисления матриц линейных операторов могут быть весьма трудоемкими. К счастью, существуют эффективные компьютерные алгоритмы для решения этой задачи. Важной характеристикой матрицы является ее характеристический многочлен.

Для произвольного оператора выяснить условия существования его собственного числа и разработать конструктивный метод его нахождения. Первое условие выражает ассоциативность операции умножения, условия 2 и 3 — законы дистрибутивности, условие four — существование нейтрального элемента. Множество с операциями сложения и умножения элементов является кольцом с единицей (вообще говоря, некоммутативное, так как в общем случае ). Существует тождественное преобразование такое, что . Характеристические полиномы подобных матриц одинаковы.

Одно из важных приложений матриц линейных операторов – это описание физических процессов и явлений. Рассмотрим несколько конкретных примеров. Аналогично можно найти матрицы различных других линейных операторов.

Условия 1-8 повторяют аксиомы линейного пространства. Поэтому множество с линейными операциями является линейным пространством. Если пространство вещественное (комплексное), то и пространство вещественное (комплексное). Матрицы линейного преобразования в разных базисах оказываются подобными. И наоборот, любые две подобные матрицы являются матрицами некоторого линейного преобразования, найденными относительно разных базисов.

Зная действие оператора на базисные векторы, мы можем найти его действие на любой вектор, представив этот вектор как линейную комбинацию базисных векторов. Пусть линейное пространство разлагается в прямую сумму подпространств . Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Ядро преобразования , образ преобразования , дефект , ранг .

Найти Матрицу И Образ, Ядро, Ранг, Дефект Оператора

Подставляя в первое равенство связи координат векторов в разных базисах получаем или, учитывая обратимость матрицы . Сравнивая последнее равенство с , убеждаемся в справедливости (9.4). Ядро преобразования — пространство многочленов нулевой степени, образ — пространство многочленов степени не выше , дефект , ранг . Если характеристический полином оператора не имеет кратных корней, то матрица оператора диагонализуема. Собственные векторы оператора, принадлежащие различным собственным числам, линейно независимы. Как видим, множество kerА замкнуто относительно линейных операций и потому является линейным подпространством.

не является линейным. Линейный оператор переводит нулевой вектор снова в нулевой, и это свойство может рассматриваться как необходимое условие линейности (но не достаточное). В теории колебаний и волн матрицы линейных операторов позволяют описывать распространение и преобразование гармонических волн. Например, отражение и преломление волн на границе сред характеризуется переходными матрицами. При фиксированном базисе каждому преобразованию (оператору) можно сопоставить его матрицу.

Матрица Оператора И Матрица Перехода От Базиса К Базису

Эти межотраслевые связи моделируются с помощью матриц, описывающих линейные операторы, преобразующие выпуск одних отраслей в затраты для других отраслей. Функции от матриц определяются при помощи многочленов от матриц. Поэтому можно определить функции от линейных преобразований.

Представляя эти нулевые векторы в виде линейной комбинации базисных векторов с нулевыми коэффициентами, получаем, что матрица нулевого оператора – это нулевая матрица соответствующего порядка. Для линейного оператора определяют такие важные характеристики как образ и ядро. Под образом понимается множество векторов, в которые оператор преобразует исходные векторы.

Плоскость В Пространстве

Теперь определим матрицу линейного оператора в заданном базисе. Это матрица, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов в том же базисе. Найти матрицу нулевого оператора Θ достаточно просто. Этот оператор отображает любой вектор в нулевой. Следовательно, образами всех базисных векторов будут нулевые векторы.

• Решая уравнение , находят собственные значения матрицы.
• Поэтому множество называют алгеброй линейных операторов (преобразований).
• Заметим, что у каждого линейного преобразования n-мерного линейного пространства существует аннулирующий многочлен степени не выше .
• Это многочлен от переменной λ, который получается при вычислении определителя выражения .
• Появляются новые фундаментальные результаты, расширяются области приложений.

Таким образом, действуя собственным вектором xi матрица A просто умножает этот вектор на соответствующее собственное значение λi. Важный результат – матрица линейного оператора полностью характеризует сам оператор. Это значит, что зная матрицу оператора в некотором базисе, мы можем однозначно восстановить действие этого оператора на любой вектор. Для единичного оператора, реализующего тождественное отображение, матрица будет единичной.

Это многочлен от переменной λ, который получается при вычислении определителя выражения . Решая уравнение , находят собственные значения матрицы. Давайте теперь разберем вычисление матриц для некоторых конкретных линейных операторов. Многочленом от линейного преобразования называется преобразование . В условиях 5-7 говорится о числах из того же числового поля, над которым определено линейное пространство .

Матрица Оператора Проецирования

Напомним, что два преобразования и называются равными, если . Для матриц преобразований справедливы свойства, рассмотренные ранее. Найдем связь матриц одного и того же линейного оператора (преобразования) в разных базисах.

Оператор В Евклидовом Пространстве

Матрица тождественного преобразования (в любом базисе) единичная n-го порядка, ядро преобразования , образ преобразования , дефект , ранг . Линейным преобразованием (линейным оператором) линейного пространства называется линейное отображение пространства в себя. Рассмотрим несколько примеров линейных операторов. Отметим, что для того, чтобы доказать линейность какого-либо отображения линейных пространств, нужно проверить условия а), б) определения 4 дефект оператора.1 или комбинированное условие (4.1). Нарушение любого из этих условий означает, что отображение

Более того, любой квадратной матрице соответствует некий линейный оператор в пространстве с размерностью, равной порядку матрицы. Так что между матрицами и линейными операторами имеется взаимно-однозначное соответствие для фиксированного базиса. Обозначим — тождественное преобразование n-мерного пространства , которое ставит в соответствие каждому вектору этот же вектор . Это преобразование является инъективным, сюръективным, биективным, обратимым.